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发表于 2022-2-5 17:31:01
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平安!
全体自然数的和是-1/12,这个谬论是怎么得来的?
众所周知,自然数没有终点,或者说它的终点是无穷大,所以说全体自然数的总和必然也是无穷大,或者说无法求解。但是史上最伟大的数学家之一欧拉和印度数学奇才拉马努金都给出了一个明显错误的结果:-1/12
拉马努金给出的解释是最通俗,所以也最引人争议的做法,是一种看上去很简单的算术算法:
首先令S0=1-2+3-4+5-6……
再令全体自然数的和为S,减去这个S0,则有:
S-S0=0+4+0+8+0+12+0+16……
也就等于4个S,也就是说-S0等于3个S,所以S等于负十二分之一。
这个算法的问题出在哪里呢?
正常的自然数可以用n来表示,那么自然数的总和就可以表示为:
S=1+2+3+……+n
但是拉马努金引入了另一个数列,其中有负数,而且最后一个负数还是 -(n+1)
S0=1-2+3-4+5-6……+n-(n+1)
就是这个比n还大的负数,使得这个本应是无穷大的数值变成了负数。而且对于自然数列来说,只要n被确定为一个具体的数值,那么人们就能直接用加法算出总和,绝对不可能是-1/12!所以拉马努金避开了给n赋予具体的数值,但是他也不敢使用无穷大∞这个字符,因为∞+1=∞,+n-(n+1)可以写成+∞-(∞+1)=∞-∞=0,如此一来,前面那个S0=1-2+3-4+5-6……+n-(n+1)的公式就不成立了。
反过来说,拉马努金的算法的错误根源,就在于当n=∞时,不存在(n+1)这个自然数,当然也就不能拿这个数用来计算自然数之和。 |
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